Un modèle numérique de nappe phréatique en 3D sous EXCEL5

François Tilquin Lycée Marie CURIE 38435 ECHIROLLES (francois.tilquin.38@gmail.com)

(téléchargements à la fin du document)

Intérêt: Ce modèle vient compléter les expériences faites avec le modèle analogique (aquarium et sable). Il permet de tester des situations différentes (perméabilités différentielles, captages, barrages, rivières drainantes et filtrantes, alimentation différente en différents lieux, etc...) et d’obtenir une nappe en 3D que l’on peut faire pivoter dans toutes les directions. Excel 5 permet aussi une visualisation de son évolution en fonction du temps, et le traçage des niveaux piézométriques sous forme de couleurs ou de courbes.

Mise en place sous Excel5: La feuille de calcul est constituée de 4 tableaux et d’un graphique 3D. Sa visualisation est optimale en 1024*768.

Exemple: un point de coordonées x et y aura une hauteur d’eau z calculée à partir des cellules H6, H24, H42 et H60 comme suit. la quantité d’eau reçue en provenance de l’extérieur est définie au niveau du tableau 1 au coordonnées cellulaires H6. La perméabilité du substrat en x,y est définie dans le tableau 2 en H24. Ce point x,y recoit ou émet de l’eau aux cellules voisines et ces valeurs sont définies dans le tableau 3 à la cellule H42. La hauteur finale z est calculée dans la cellule H60 du dernier tableau .

Premier tableau:

Valeurs en tous points de la surface, des entrées et sorties d’eau: Valeur positive= entrée, valeur négative= sortie d’eau. Attention, une entrée non numérique provoque une erreur fatale pour laquelle il faut recharger la feuille.

La colonne B indique que la nappe est alimentée par une « rampe ». En H6 un captage.

Deuxième tableau:

Valeur en tous points de la perméabilité du substrat. Elles sont variables de 0 à 0,20 au maximum. En bas à droite un exutoire, et au milieu une zone de drainage préférentiel (de perméabilité 0,1).

Troisième tableau: Entrées et sorties calculées. C’est dans cette feuille que l’on entre la loi de Darcy: Chaque cellule est entourée de 8 autres cellules qui vont échanger de l’eau avec celle-ci proportionnellement à la différence de hauteur et à la perméabilité. A cette quantité d’eau s’ajoute ou se retranche la valeur de l’eau introduite au tableau 1.

H42=(G59-H60)*G23+ (H59-H60)*H23+ (I59-H60)*I23+ (I60-H60)*I24+ (I61-H60)*I25+(H61-H60)*H25 + (G61-H60)*G25+ (G60-H60)*G24+H6

Quatrième tableau: la hauteur d’eau dans chaque cellule est le résultat de la somme de sa valeur antérieure et de la valeur des entrées sorties de la cellule de même coordonnées dans le tableau précédent (H60=H60+H42): c’est une référence circulaire.

Ces formules sont valables pour une cellule entourée par 8 autres mais ne le sont pas en bordure, aussi si l’on veut étendre ces formules aux bordures également, il est nécessaire de prévoir dans le tableau 3 et le tableau 4 des bordures plus grandes que celles qui vont définir la nappe en plaçant dans cette bordure une perméabilité nulle sauf au niveau de l’exutoire et une hauteur d’eau nulle ou faible au niveau de l’exutoire. (ici l’exutoire est à droite et l’alimentation se fait à gauche. L’utilisateur interviendra surtout au niveau du premier et du deuxième tableau en faisant varier l’approvisionnement en eau et les perméabilités.

La feuille de calcul Excel5 se présente sous cette forme: l’utilisateur intervient sur le premier tableau (Entrées-sorties d’eau en chaque point) et le deuxième (perméabilités en chaque point)

Utilisation du modèle:

Quelques précautions sont à prendre pour l’utilisation de la feuille de calcul:

Si le tableur indique Impossible de résoudre les références circulaires, alors il faut prendre dans Outils, Options, Calcul, Mode de calcul sur ordre puis dévalider le recalcul avant enregistrement, puis validez Itération et mettre 1 dans le nombre maximum d’itérations.
Une pression sur F9 permet alors le calcul pour une unité de temps (référence circulaire)
Un double click sur la figure permet de la faire évoluer sans le réaffichage de chaque point.
La figure peut être explorée dans ses trois dimensions en cliquant sur elle même et sur les points qui apparaissent dans les angles de la bases et du sommet.
Il faut veiller à respecter les intervalles des valeurs à saisir.
Pour étendre des valeurs à droite ou en bas dans le tableur: on sélectionne la zone d’extension avec SHIFT et les flèches de direction, puis Control B pour étendre en bas et Control D pour étendre à droite.

Pour mettre la même valeur dans des cellules disjointes, se placer sur la cellule à copier puis Control C pour mémoriser cette cellule, puis sélectionnez les cellules but avec la touche Control ùaintenue et la souris, puis Control V pour coller.

Quelques exemples de résultats de modélisations :

	Le modèle est alimenté à gauche par une « rampe » de valeurs (0,02) et l’exutoire est fixé à droite par une rampe de valeurs de la perméabilités qui s’applique à une valeur de la hauteur d’eau minimale fixée à 0,4 dm. Dans ces conditions on obtient une nappe plane dont la pente est régulière et dont le niveau est stable en fonction du temps.
	L’alimentation au milieu à gauche seulement et le drainage en bas à droite donne un modèle sensiblement différent et qui est probablement proche de ce que l’on obtient avec le modèle analogique de nappe phréatique. La piézométrie indique la direction de l’écoulement des flux d’eau (Du haut vers le bas et perpendiculairement aux courbes)
	Une zone de plus forte perméabilité est installée de gauche à droite. Dans ces conditions, on simule une rivière filtrante (chevrons tournés vers l’amont). L’eau ainsi favorisée dans son écoulement aval tombe ensuite sur une zone ou la perméabilité redevient faible. L’excédent d’eau se traduit par une filtration plus importante (chevrons tournés vers l’aval).

	Ces 3 figures sont le résultat de la simulation d’un captage avec la création d’un cône de rabattement dont l’influence se fait sentir sur une distance importante aussi bien à l’amont qu’à l’aval. La vue ci-contre à gauche est obtenue en utilisant les propriétés de rotation des figures dans le tableur Excel5
	Lorsque la perméabilité est assez forte, il est nécessaire d’évaluer avec précision le rabattement afin que les puits ne s’influencent pas les uns les autres. (Perméabilité faible: on peut rapprocher les puits; perméabilité forte: il faut les éloigner) La figure ci-contre à gauche montre comment un puits interfère avec le second lorsque leur distance n’est pas bien évaluée.

Les deux exemples ci-dessus montrent des nappes dont l’approvisionnement l’exutoire et le captage sont les mêmes en intensité mais dont la perméabilité est différente: A gauche, perméabilité forte, pente de nappe faible et rabattement faible au captage. A droite perméabilité faible, pente de nappe forte et rabattement fort au captage.

Un goulot dans le substratum d’une nappe alluviale provoque drainage et filtration.

Le barrage: perméabilité nulle avec une zone centrale où l’écoulement est possible

Perméabilité forte à gauche et faible à droite

Perméabilité faible à gauche et forte à droite

Différentes zones d’alimentation et de drainage permettant de montrer la dynamique des équilibres entre les apports et les exports et la fluctuation dans l’espace et le temps des niveaux piézométriques.

On peut également tracer les lignes de partage des eaux entre les différents bassins versants.

Un comportement chaotique du modèle apparaît lorsque la perméabilité est forte. Des sortes de vagues naissent est s’amplifient (un peu comme en fin des schuss sur les pistes de ski). Est-ce un artéfact ou un problème de mécanique des fluides. Le modèle semble cependant perdre de sa fiabilité mais le phénomène est réversible quand on remet une perméabilité faible.

Pistes d’utilisation: Relations hauteur d’eau piézométrie, édition imprimante puis traçage des flux d’eau, comparaisons aux cartes existantes, détournement de flux polluants etc...

Téléchargez les fichiers excel5 http://museedumas.fr/pages/nappe_MODEL_3D/

Voyez d'autres documents utiles sur la nappe du Drac http://www.ac-grenoble.fr/webcurie/bio/eau/